Σε ένα μεγάλο μπολ κοσκινίζουμε το αλεύρι και το αλάτι και ανοίγουμε μια λακκουβίτσα στο κέντρο. Προσθέτουμε τη μαγιά και στη συνέχεια το λάδι και το νερό. Δουλεύουμε το μίγμα με τα χέρια για 5-10' ώσπου να σχηματιστεί μια λεία και ελαστική ζύμη.

Πλάθουμε τη ζύμη σε μπάλα και την τοποθετούμε σε λαδωμένο μπολ. Τη σκεπάζουμε με μια καθαρή πετσέτα και την αφήνουμε να φουσκώσει σε ζεστό μέρος ώσπου να διπλασιαστεί σε όγκο, για 1 ώρα και 30' περίπου.

Ζεσταίνουμε το ελαιόλαδο σε ένα μικρό τηγάνι και προσθέτουμε το κρεμμύδι. Το σοτάρουμε για 2-3' μέχρι να γίνει διάφανο. Στη συνέχεια προσθέτουμε όλα τα υπόλοιπα υλικά και αφήνουμε τη σάλτσα να βράσει για 3'.

Κόβουμε τις φέτες κοτόπουλου σε μικρά κομμάτια και τα ενώνουμε με τη σάλτσα μπάρμπεκιου.

Ανοίγουμε τη ζύμη σε φύλλο και την απλώνουμε σε ένα μέτριο ταψί. Ρίχνουμε από πάνω το μίγμα κοτόπουλου-σάλτσας και το στρώνουμε ομοιόμορφα με την ανάποδη ενός κουταλιού.

Πασπαλίζουμε την επιφάνεια πρώτα με το ρεγκάτο και στη συνέχεια με τη φέτα.