Σε μεγάλη κατσαρόλα βράζουμε το κοτόπουλο για 30' περίπου, μέχρι να μαλακώσει αρκετά.
Το μεταφέρουμε σε σουρωτήρι και το στραγγίζουμε.
Παράλληλα βράζουμε τις πατάτες σε άφθονο αλατισμένο νερό για 30' μέχρι να μαλακώσουν και να τρυπιούνται εύκολα με ένα πιρούνι.
Τις μεταφέρουμε σε σουρωτήρι και τις στραγγίζουμε.
Βάζουμε το βούτυρο σε κατσαρόλα μεσαίου μεγέθους και το ζεσταίνουμε σε μέτρια θερμοκρασία.
Μόλις λιώσει και ζεσταθεί, ρίχνουμε τα λαχανικά και τα σοτάρουμε για 5-6' μέχρι να μαλακώσουν.
Σβήνουμε με το κρασί και αφήνουμε τα λαχανικά να μαγειρευτούν για λίγη ώρα, για να εξατμιστεί το αλκοόλ.
Προσθέτουμε το αλεύρι και ανακατεύουμε ζωηρά να ενσωματωθεί.
Προσθέτουμε σταδιακά το ζωμό και το γάλα. Ανακατεύουμε ανά τακτά χρονικά διαστήματα, μέχρι η σάλτσα να πυκνώσει αρκετά.
Όση ώρα περιμένουμε τα λαχανικά, ψιλοκόβουμε το κοτόπουλο.
Ρίχνουμε στην κατσαρόλα το κοτόπουλο και το τριμμένο ρεγκάτο.
Αλατοπιπερώνουμε τη γέμιση σύμφωνα με τα γούστα μας και την αδειάζουμε σε πυρέξ μεσαίου μεγέθους.
Προθερμαίνουμε το φούρνο στους 200 βαθμούς με αντιστάσεις.
Βάζουμε τις πατάτες στην κατσαρόλα στην οποία τις βράσαμε. Τις λιώνουμε με ένα πιρούνι.
Προσθέτουμε το γάλα και το τριμμένο ρεγκάτο.
Ανακατεύουμε καλά και αλατοπιπερώνουμε τον πουρέ σύμφωνα με τη γεύση μας.
Απλώνουμε το μίγμα πάνω από τη γέμιση του κοτόπουλου.
Πασπαλίζουμε την επιφάνεια με την τριμμένη παρμεζάνα για 35-40' μέχρι να ροδίσει.
Σερβίρουμε την cottage pie πασπαλισμένη με μαϊντανό.