Βάζουμε το μπλε τυρί σε ένα μπολ μεσαίου μεγέθους και το θρυμματίζουμε με ένα πιρούνι. Προσθέτουμε και τα υπόλοιπα υλικά και ανακατεύουμε. Δοκιμάζουμε και διορθώνουμε τη γεύση αν χρειάζεται.

Τοποθετούμε τη σος στο ψυγείο για 4 ώρες τουλάχιστον προτού τη χρησιμοποιήσουμε. Μπορεί να διατηρηθεί στο ψυγείο για 3 ημέρες.

Βάζουμε το ελαιόλαδο και το βούτυρο σε ένα μεγάλο αντικολλητικό τηγάνι με βαρύ πάτο και τα ζεσταίνουμε σε μέτρια φωτιά. Μόλις λιώσει το βούτυρο ρίχνουμε τα κρεμμύδια, τα πασπαλίζουμε με το αλάτι και χαμηλώνουμε τη φωτιά.

Ανακατεύουμε συχνά τα κρεμμύδια, μέχρι να μαλακώσουν αρκετά και να ξανθύνουν, για 20-25′. Στη συνέχεια ρίχνουμε τη ζάχαρη και συνεχίζουμε το μαγείρεμα ανακατεύοντας συχνά για 40-45′ ακόμα, μέχρι τα κρεμμύδια να αποκτήσουν ένα όμορφο κόκκινο-καφέ χρώμα και να σωθούν τα υγρά του τηγανιού.

Κόβουμε το κοτόπουλο σε πολύ μικρά κομμάτια και το τοποθετούμε σε ένα μεγάλο μπολ. Προσθέτουμε τα υπόλοιπα υλικά και ζυμώνουμε το μίγμα καλά με τα χέρια μας. Το αλέθουμε σε μπλέντερ ή μούλτι, χωρίς όμως να επιμείνουμε πολύ καθώς δεν θέλουμε να ομοιογενοποιηθεί απόλυτα.

Τοποθετούμε το μίγμα του κοτόπουλου στο ψυγείο για 1 ώρα, ούτως ώστε να δέσουν οι γεύσεις.

Βάζουμε το κάτω μισό από το ψωμάκι σε ένα μεγάλο πιάτο και απλώνουμε ομοιόμορφα 2 κουταλιές της σούπας σος. Τοποθετούμε από πάνω τα φύλλα του μαρουλιού και στη συνέχεια τις ροδέλες ντομάτας.

Βάζουμε το μπιφτέκι κοτομπέικον και από πάνω του απλώνουμε 2 κουταλιές από τα καραμελωμένα κρεμμύδια. Καλύπτουμε με το άλλο μισό ψωμάκι και απολαμβάνουμε!