Κρατάμε 1 φλιτζάνι γάλα και βάζουμε το υπόλοιπο σε μια κατσαρόλα να πάρει βράση. Μόλις ξεκινήσει ο βρασμός προσθέτουμε το ρύζι, το κοτόπουλο ψιλοκομμένο και το μοσχοκάρυδο.
Βράζουμε για 10' περίπου, ανακατεύοντας συχνά για να μην κολλήσει. Αποσύρουμε την κατσαρόλα από τη φωτιά και αφήνουμε το μίγμα να κρυώσει λίγο.
Προθερμαίνουμε το φούρνο μας στους 180 βαθμούς με αντιστάσεις και βουτυρώνουμε ένα μεγάλο πυρέξ.
Προσθέτουμε τα τυριά και το βούτυρο στο μίγμα του ρυζιού και πασπαλίζουμε με πιπέρι ανάλογα με τη γεύση μας. Αλάτι ενδεχομένως να μη χρειάζεται να προσθέσουμε, ειδικά εφόσον τα τυριά είναι αλμυρά. Μπορούμε ωστόσο να δοκιμάσουμε το μίγμα μας σε αυτή τη φάση και αν χρειάζεται να διορθώσουμε τη γεύση με λίγο αλάτι.
Ρίχνουμε και τα 4 αυγά ελαφρά χτυπημένα και ανακατεύουμε καλά να ενωθούν όλα τα υλικά. Αδειάζουμε το μίγμα στο πυρέξ.
Σε ένα μπολ χτυπάμε το τελευταίο αυγό με το γάλα που κρατήσαμε και περιχύνουμε την επιφάνεια.
Ψήνουμε την πίτα για 50' περίπου μέχρι να ροδίσει όμορφα η επιφάνεια και την αφήνουμε λίγη ώρα να κρυώσει για να μπορέσουμε να την κόψουμε.