Ζεσταίνουμε το ελαιόλαδο σε μια κατσαρόλα μεσαίου μεγέθους.
Προσθέτουμε το κρεμμύδι και το καρότο και τα σοτάρουμε για 4-5’.
Ρίχνουμε την μπίρα σιγά-σιγά και αλατοπιπερώνουμε σύμφωνα με τη γεύση μας.
Σκεπάζουμε την κατσαρόλα και αφήνουμε τα λαχανικά να βράσουν για 15-20’ και να μαλακώσουν.
Προσθέτουμε το βούτυρο και ανακατεύουμε να λιώσει.
Ρίχνουμε το αλεύρι και ανακατεύουμε ζωηρά γιατί το μίγμα πήζει αρκετά γρήγορα.
Σταδιακά προσθέτουμε το γάλα και κατόπιν το μέλι.
Μόλις ξεκινήσει ο βρασμός χαμηλώνουμε τη θερμοκρασία, σκεπάζουμε την κατσαρόλα και αφήνουμε τη σούπα να βράσει για 15’ περίπου.
Προσθέτουμε το τσένταρ, αποσύρουμε την κατσαρόλα από τη φωτιά και ανακατεύουμε μέχρι να λιώσει το τυρί.
Εάν θέλουμε, στο σημείο αυτό μπορούμε να πολτοποιήσουμε τη σούπα στο μπλέντερ, ούτως ώστε να αποκτήσει βελούδινη υφή.
Τη σερβίρουμε με λίγο τριμμένο τσένταρ ακόμα και ψιλοκομμένο μαϊντανό.